부분적분을 정리해보자. 적분을 취한 후에 다시 적분항이 남아 있다. 두 피적분 함수가 미분관계에 있다는 점에 주목하자.






'부분적분법'은 고등 수학에서 가장 많이 활용되는 적분기법일 것이다. 특히 피적분 함수에 지수함수나 삼각함수 같은 초월함수(transcendental function)가 포함된 경우 부분적분법이 강력한 도구가 된다.  과학 기술의 영역에서 지수 함수가 빠진 공식을 본적이 없다! 부분적분이라는 도구를 활용하기 위해 모든 것을 지수함수의 눈으로 봤기 때문일 것이다.


부분적분법 공식은 좀 특이하다. 적분결과에 다시 적분항이 남아있다. 적분을 푼 것이 아니라 더 오묘해 졌다.

가우스 함수의 부정적분은 초등함수(elementary function)에 있지 않다.

가우스 함수의 부정적분은 풀 수 없다.

<적분풀기와 적분계산,그리고 수치해석에서 적분>

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<함수와 그래프>


익숙한 함수 표현법으로 y = f(x)라 하면 함수의 출력 y가 입력 x에 종속이라는 뜻이다. 입력 x에 의해 y 가 결정된다. 만일 x와 y를 직교하는 두 축상의 원소라고 하자. 함수에 의한 대응관계를 갖는 두 원소의 쌍 (x,y)를 그래프로 그릴 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 간단한 2차 함수가 있다고 하자.







이 함수의 정의역은 모든 실수다. 이를 입력으로 계산결과인 출력의 범위는 3보다 큰 실수가 된다. 이 함수의 작동을 집합의 개념으로 정의역(domain)과 치역(range)의 대응 관계를 표시할 수 있다. 아울러 직교하는 입력 x축과 출력 y축 상의 그래프로 그려볼 수도 있다. 함수에 의한 대응관계를 갖는 정의역의 원소와 치역의 원소 쌍 P(x,y)을 x-y평면 상에 표시한 것이다. 치역의 범위를 3보다 큰 실수라고 하지만 수 입력 x에 대응되는 출력 y가 종속 관계에 있음이 명백하다.






만일 어떤 함수가 두개의 인수를 갖는다고 하자. 이 함수는 f(x,y)로 기술되며 인수 x와 y는 서로 독립적이며 범위는 모든 실수로 정의 하자. 함수의 예로 다음과 같이 정의 되었다.





이 함수 f(x,y)가 가질 수 있는 범위는 역시 모든 실수일 뿐만 아니라 무수히 많은 대응 관계를 만들 수 있다. 만일 x 와 y가 직교 축상의 원소들이라면 이 그래프를 그릴 수 있을까? 대응 관계를 만들 수 있기는 하겠지만 무수히 많다. 굳이 의미를 찾자면 평면 전체가 될 것이다.


그렇다면 함수 f(x,y)가 가질 수 있는 값을 한개로 고정시켜보자. 그리고 이를 만족하는 x와 y의 조합을 모아보면 어떨까? 역시 수많은 (x,y)의 조합을 만들 수 있으나 모두 원주 상의 점들이 된다. 함수에서 치역이 될 값을 한개로 고정시키면 이를 방정식이라 하며 이를 만족하는 미지수(함수가 아니므로 입력이라하지 않음)의 집합을 찾는 행위를 방정식을 푼다(해를 찾는다)라고 한다. 다음은 원의 방정식의 예이다.






앞선 예에서 f(x,y)가 함수라 할 경우 이 함수가 가질 수 있는 값이 모든 실수이므로 평면상의 모든 원이라는 뜻이 된다. 어쨌든 함수 f(x,y)는 x와 y에 종속 관계에 있다. x와 y가 직교축상의 실수 원소들이라고 하고 f(x,y)를 x와 y가 만든 축과 직교 한다고 하자. 그림을 그리면 3차원 그래프가 된다. 그림에서 함수 f(x,y)는 z로 치환 되었다.









시점 "A"에서 보면 f(x,y)가 x-y 평면 상의 모든 원을 뜻하며 f(x,y)=50은 그중 한 원을 나타내는 방정식이다. 컴퓨터 대수 시스템 계산기(CAS)에서 보여주는 3차원 그래프를 보자. 함수가 정의 구간 내에서 어떻게 변하는지 전반적으로 살펴볼 때 매우 유용한 시각화(visualization) 도구다. 시각화를 통해 수집된 정보의 경향성을 직관적으로 분석할 수 있다. 이것이 바로 함수의 그래프 개형을 그려보는 훈련을 하는 이유이기도 하다.


이제 함수와 방정식의 차이를 이해했을 것이다. 기왕 여기까지 왔으니 그래프와 도형의 의미를 한번쯤 짚고 넘어가자. 국어사전을 빌면 이렇게 설명하고 있다.

그래프(graph)

1. 서로 관계가 있는 둘 이상의 수와 양의 상대적인 값을 한눈에 볼 수 있도록 나타낸 표

2. 주어진 함수가 나타내는 직선이나 곡선







<중적분>


다수의 독립적인 변수를 갖는 함수를 다변수 함수(Multivariate function) 라 한다. 중적분은 다변수 함수의 적분이다. 중적분의 예로 회전체의 부피를 구해보자. '회전체'는 아래 그림과 같다. 함수 f(x)를 x축을 중심으로 한바퀴 회전한 입체 도형이다. 이로부터 회전체의 부피는 단면은 반지름이 f(x)이고 회전각 θ인 원을 x축의 구간 [a,b] 로 적분 한 것임을 알 수 있다.








회전체의 부피 문제를 풀기 위해 '알려진 것'과 '알아낸 것'에서 수식을 만들어보자.


1) 알려준 것: 함수 f(x)와 구간 [a,b]으로 문제에서 제시됨

2) 알아낸 것: 회전체 단면이 반지름 f(x), 회전각 θ의 구간 [0,2π]인 원 (원의 면적을 구하는 공식은 외워서 알고 있다. 여기서는 중적분의 예를 보이기 위해 원의 면적 공식을 모른다고 하자.)


회전체의 부피는 원의 단면적을 x축의 구간 [a,b] 에서 적분한다. 원의 단면적은 x축 상의 한점에서 고정된 반지름 f(x)에 각도 θ 를 적분하여 구한다. 결국 회전체의 부피는 두개의 적분 변수를 가지고 있다.





한개 이상의 적분 변수를 갖는 중적분이 되었다. 적분기호가 이중으로 겹쳐 있어 다소 복잡해 보일 수 있다. 적분(미분) 기호는 곱하기나 더하기 처럼 연산자 임을 기억하자. 더구나 덧셈이나 곱셈처럼 분배, 교환법칙이 가능하다. 이것을 선형성이 있다고 한다. 미적분 연산자는 선형성이 있다.


회전체의 부피를 구하기 위한 피적분 함수의 모양을 살펴보자. 두개의 인수를 가지고 있다. 이에 덧붙여 함수 안에 다시 함수가 겹친 복합 함수의 모습을 하고 있다. 복합 함수의 적분은 치환의 과정을 거쳐야 하는 등 매우 복잡하다. 어쩌면 풀 수 없을 지도 모른다. 그러나 다행히 회전체 부피를 구하는 함수를 살펴보니 서로 다른 인수를 갖는 두개의 함수 곱이다. 곱셈 연산의 분배 결합 법칙이 적분에도 적용될 것이다.






회전체의 단면은 원이다. 원의 지름만 알면 호도법으로 면적을 구할 수 있다. 적분을 위해 먼저 미소 적분량을 잡고 그로부터 적분 변수를 찾는다.


















구의 부피를 구할 때 반원의 회전체로 보고 원의 방정식이 사용하였다. 직교좌표계에서 원의 방정식을 함수로 정리해 놓으면 제곱근의 식이 된다. 다행히 부피 적분 공식에 제곱이 포함되어 있어 다행 이지만 제곱근이 포함된 식은 매우 다루기 까다롭기 때문에 피하는게 상책이다. 보기싫은 제곱근이 나왔던 이유가 직교 좌표계에서 원의 방정식 때문 이었다. 이를 피하기 위해 시각을 바꿔보자. 좌표계 변환이다.


공간을 다뤄야 하므로 3개의 축이 필요하다. 직교좌표계를 (x,y,z)으로 한다면 극좌표계는 (r,θ,φ)다. 길이 r외의 나머지 두 변수는 모두 각도다. 각도의 회전 방향이 절대적인 의미를 갖는 것은 아니지만 통상 아래 그림과 같다.





직각좌표계는 세 축이 직각이다. 공간 상의 현상을 분석하기 위해 가장 먼저 따지는 것이 축과 직각을 이루는 기준을 잡는 일이다. 수능 2015 기출 문제 중 공간 좌표를 보자. 고등학생들이 이런 문제를 풀고 있다.








공간 좌표계에서도 극좌표로 표현하면 평면 좌표계의 경우 처럼 매우 유리하다. 거리 r이 양수의 실수 이며 나머지 두 각도 변수 θ 와 φ 는 주기적이며 한정된 범위를 갖는다. 행여 제곱근이 포함된 수식이 등장해도 세 변수 r, θ, φ는 항상 양수이므로 다루기 수월하다.


3차원 극좌표계에서 구의 부피를 구해보자. 적분은 미소단위를 누적한 합이라는 점을 항상 기억하자. 미소단위를 결정하는 과정에서 적분 변수도 결정된다.





구에서 미소부피 ΔV 는 표면의 미소면적 ΔS 을 밑변으로, 반지름 r을 높이로 하는 사각 뿔이다. 구에서 반지름은 r은 고정 되어 있으므로 적분 변수는 θ 와 φ 다. 미소부피를 두 각도를 변수로 삼아 이중적분하면 구의 한 조각이 된다. 전체 구에는 이런 조각 8개다.





위의 구의 부피 문제는 반지름이 고정되었다. 만일 원점에 광원(별)이 놓였다고 하자. 시간이 지나며 전 방향으로 빛이 퍼져 나간다. 반지름이 시간의 함수r(t)가 된다.


광원에서 멀리 떨어진 한 지점에 도달한 빛의 양을 측정 하였다. 이 빛의 측정값은 별에서 방출한 전체 에너지 량의 극히 일부분이다. 이를 미소 면적이라고 보고 적분을 하면 이 별에서 방출되는 에너지 량을 계산 할 수 있다. 그런데 거리를 모른다.


사진 상의 별의 밝기는 노출 시간을 Δt 로 주고 찍었다. 시간당 방출 에너지량을 구할 수 있다. 이 미소 시간을 적분변수로 삼아 적분하면 이 별의 총 에너지 방출량을 구할 수 있다. 색온도 따위의 다른 물리량과 비교하여 이 별이 정상적인지 특이한 것인지 의심을 품어볼 단서가 될 수도 있다.


지구상에서 멀리 떨어진, 그것도 어마어마하게 먼 별에 대해 직접 측정 할 수 있는 것이라고는 각도 위치와 밝기 뿐이다. 그로부터 다른 물리량을 도출하려면 여러가지 창의적 생각이 동원된다. 관측 조건과 기법에 따라 오차가 상당히 심하므로 서로 다른 방식으로 측정한 값들과 교차 검증한 끝에 사실로 증명된다. 빛의 속도가 고정되어 있으니 거리는 곧 시간이다. 문제는 거리다.








<좌표계 변환용 야코비 행렬식>


종속관계가 아닌 다수의 변수를 정의역으로 하는 함수의 중적분에 대하여 살펴봤다. 아울러 직교 좌표계와 극좌표계에서 각 축을 독립 변수로 취급한 중적분의 예를 봤다. 앞서 예로 보였던 회전체의 부피 문제의 경우 회전단면(원)의 면적을 구할 때 극좌표계(호도법)으로, 길이 방향으로 f(x)는 직교 좌표계를 이용하였다. 이는 두개의 독립 변수 x와 θ가  중적분 된 것이다.

이번에는 두 좌표계 사이의 등가변환에 대하여 살펴보자. 직교좌표계에서 복잡한 문제가 극좌표로 변환하면 단순해 질 수 있기 때문이다. 자연계에는 공간에서 회전하는 현상이 너무나 많다. 특히 전자기학(서로 맞물려 빙빙도는 전기장과 자기장 그림을 봤다!)의 경우 벡터와 극좌표계는 절대적이다. 물리학에서 차라리 회전하지 않는 것이 비정상이다. 직교 좌표계가 제아무리 직관적이라도 자연현상을 수학으로 묘사하는데 매우 부적절하다. 직교 좌표계를 쓰는 이유는 직관적이고 관측(계측기 제작)이 용이하다는 점이다. 결국에는 해석을 위해서 극좌표계로 변환되어야 한다.

좌표계 '등가변환'을 '치환법'으로 보자. 적분변수 x와 y를 r 과 θ 로 치환하면서 비례규칙 J가 더 붙었다. 아울러 적분구간도 이에 맞게 변화하였다.






등가의 변환(치환)식이 존재하는 경우 일반적인 중적분 (Multiple integral)의 치환법에 적용되는 규칙으로 야코비 행렬식(Jaccobian Determinant)이 있다.





두 좌표계 사이의 등가 변환을 치환으로 보자. 직교 좌표계의 x와 y는 극좌표의 r과 θ 로 변환 될 수 있다. 야코비 행렬식을 위해 각각 변수로 편미분 하였다.





좌표변환 중적분에 적용될 야코비 행렬식을 구해보면 아주 단순해진다.





결국 직교좌표계의 함수 f(x,y) 중적분을 극좌표계의 함수 f(r, θ) 중적분으로 변환하면 다음과 같다. 주의할 것은 적분 구간의 설정이다. 함수가 치환되었으므로 적분구간 이에 등가가 되도력 재정의 되어야 한다.





<가우스 함수의 이상적분>

가우스 함수의 부정적분은 초등함수 범위에 있지 않다는 것은 이미 살펴봤다. 가우스 함수의 정적분은 컴퓨터 수치해석법으로 근사값 적분 가능하다. 특이하게도 적분 구간을 무한대로 둔 이상적분의 경우 무리수에 수렴한다.







가우스 함수의 이상적분을 극좌표계에서 구해보자.







(1) 가우스 함수가 기본적으로 지수함수이며 극좌표의 반지름이 직각 좌표의 제곱합이라는 점을 활용하기 위해 적분을 제곱한다.
(2) 직각 좌표계는 y=x 로 정의된다.
(3) 지수함수의 곱은 밑이 같을 경우 지수부끼리 합(지수함수의 특성)
(4) 직각 좌표계의 f(x,y)를 극좌표계 f(r, θ)로 치환 하였다. 야코비 변환 규칙이 적용 되었다. 
(5) 적분 변수의 범위에 유의하자. 직교 좌표계에서 직교축 x 와 y가 모든 실수 [-∞,+∞]에 대응하는 극좌표계에서 반지름 r(θ)은 [0,∞], θ는 [0,2π] 구간에서 순환한다.

(6) r 의 곱이 있는 가우스 함수의 적분은 풀 수 있다. 지수함수 적분 예제의 가장 흔한 예였다!

결국 가우스 함수의 이상적분은 다음과 같다. 파이(π)는 왜 거기서 나오는지 답해보자.





[요약]


가우스 함수와 그 적분의 궁금증을 풀어보겠다고 시작 했다가 꼬리에 꼬리를 무는 궁금증에 너무 많은 양을 다루게 됐다. 가우스 함수의 이상적분 구하기를 요약하자면 이렇다.





CAS 계산기(nSpire CX CAS)로 가우스 함수를 3차원으로 그려봤다.





아래 적분을 푸는 과정을 보고 각 단계로 넘어갈 때 마다 타당한 수학의 이유를 설명해 보자.

[6] '수포자' (수포자의 유형)