안녕하세요? 크립토라고 합니다.

4월 5일 방송에서 "우리가 흔하게 쓰는 '사다리' 게임에서 결과가 절대 겹치지 않는 이유는?" 하는 질문이 있었습니다.

질문 : N 명이 모여서 N개의 결과를 놓고 하는 사다리 게임에서, 사다리를 어떻게 그려도 사다리 게임의 결과가 절대 겹치지 않는가?

정답 : 사다리 게임의 결과는 절대  겹치지 않는다.

증명 : 간단하게 설명을 해 보면 N명이 모여서 N개의 음식메뉴를 놓고 사다리를 하는 상황을 보시면,

먼저 위에 사람들을 적고, 아래에 메뉴를 적습니다. 여기서 사다리의 출발점인 사람들의 인원수와 사다리의 끝점인 메뉴의 갯수가 같아야 합니다. 즉 시작점 N명, 끝점 N개 입니다.

단계 1 : 이후, 먼저 사람1과 메뉴1을 연결하는 수직선을 긋지요? 계속해서 사람2와 메뉴2를 연결하는 등의 과정을 반복합니다. 마지막으로 사람N과 메뉴N을 연결하고 나면 사다리 게임이 시작됩니다.

단계 2 : 이후, 아무나 또는 구성원들이 각자 사다리 수직선에 횡으로 또는 점프선 등을 긋습니다.

단계 3 : 여기까지가 사다리 게임의 과정이고, 이후 사다리 결과를 확인하지요? 이때 겹쳐 나올 수 있는가? 하는 문제입니다. 당연히 답은 NO! 입니다.

단계 1에서 그린 수직선을 긋게 되면, 이것은 수학적으로 N개의 원소로 구성된 정의구역(사람들의 집합)에서 N개의 원소로 구성된 공변역(메뉴들의 집합)으로 가는 전단사함수입니다.

아울러 단계 2에서 횡으로 선을 긋거나, jump를 하는 등의 각각의 행위 하나 하나는 모두 전단사함수입니다.

아무리 많은 사람들이 사다리를 복잡하게 하려고 line을 하나 긋는 것이 또 하나의 전단사함수입니다.

나중에 지저분하게 그려진 최종 사다리는 많은 전단사함수의 합성함수이기 때문에, 최종 사다리의 모습역시 N명에서 N개로의 전단사함수입니다.

즉, 사람이 다르면, 최종 선택메뉴도 달라집니다.(즉, 단사함수이므로)

또한, 메뉴 중에 선택안되는 메뉴가 있지도 않습니다.(즉, 전사함수이므로)

자주 즐기는 사다리 게임에도 수학이 있었습니다. 그렇지만 이러한 질문이나 고민을 하시는 분은 거의 없었는데, 역시 아무나 '과학과사람들' 진행하는 것은 아니었습니다.^^

방송 잘 듣고 있습니다. 감사합니다.

전단사함수(bijection function, 1-1 대응) : 전사함수(surjective function)이자 단사함수(injective function), 전단사함수의 합성은 전단사함수임은 수학적으로 쉽게 증명되어 있습니다.